已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心、橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線(xiàn)相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)，連結(jié)、分別交直線(xiàn)于、兩點(diǎn)．試問(wèn)直線(xiàn)、的斜率之積是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：（1）由直線(xiàn)和圓相切，求，再由離心率，得，從而求，進(jìn)而求橢圓的方程；（2）要說(shuō)明直線(xiàn)、的斜率之積是否為定值，關(guān)鍵是確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo).首先設(shè)直線(xiàn)的方程，并與橢圓聯(lián)立，設(shè)，利用三點(diǎn)共線(xiàn)確定、兩點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)，再計(jì)算直線(xiàn)、的斜率之積，這時(shí)會(huì)涉及到，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，研究其值是否為定值即可．
試題解析：（1），故     4分
（2）設(shè)，若直線(xiàn)與縱軸垂直，  

則中有一點(diǎn)與重合，與題意不符，
故可設(shè)直線(xiàn).           5分
將其與橢圓方程聯(lián)立，消去得：
          6分
     7分
由三點(diǎn)共線(xiàn)可知，，，        8分
同理可得                                             9分
                  10分
而       11分
所以
故直線(xiàn)、的斜率為定值.                                  13分
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；2、直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知點(diǎn)是拋物線(xiàn)上不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且焦點(diǎn)
到直線(xiàn)的距離為.
(I）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）現(xiàn)給出以下三個(gè)論斷：①直線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)；②直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)；③直線(xiàn)平行軸．
請(qǐng)你以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題，并加以證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且點(diǎn)在橢圓C上，又.
（1）求焦點(diǎn)F2的軌跡的方程；
（2）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于M、N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)：和：的焦點(diǎn)分別為，交于兩點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且.
（1）求拋物線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交的下半部分于點(diǎn)，交的左半部分于點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，求△面積的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知雙曲線(xiàn)的中心在原點(diǎn)，離心率為2，一個(gè)焦點(diǎn)為F(－2，0)．
(1)求雙曲線(xiàn)方程；
(2)設(shè)Q是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)F，Q的直線(xiàn)l與y軸交于點(diǎn)M，若= 2，求直線(xiàn)l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知橢圓的右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)分別為,且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)焦點(diǎn)斜率為（）的直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，弦的垂直平分線(xiàn)與軸相交于點(diǎn). 試問(wèn)橢圓上是否存在點(diǎn)使得四邊形為菱形？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A、B，.
（1）求拋物線(xiàn)E的方程；
（2）過(guò)拋物線(xiàn)E上的點(diǎn)N作圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為P、Q，若P，Q，O（O為原點(diǎn)）三點(diǎn)共線(xiàn)，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知定點(diǎn)與分別在軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：,動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)任作一直線(xiàn)與點(diǎn)的軌跡交于兩點(diǎn)，直線(xiàn)與直線(xiàn)分別交于點(diǎn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
（i）試判斷直線(xiàn)與以為直徑的圓的位置關(guān)系；
（ii）探究是否為定值？并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其左、右頂點(diǎn)分別是、，左、右焦點(diǎn)分別是、，（異于、）是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接交直線(xiàn)于、兩點(diǎn),若成等比數(shù)列.

（1）求此橢圓的離心率；
（2）求證:以線(xiàn)段為直徑的圓過(guò)點(diǎn).

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