Question

1．已知直線l：y=kx+m與橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$相交于A，P兩點(diǎn)，與x軸，y軸分別相交于點(diǎn)N和點(diǎn)M，且PM=MN，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，QM的延長線交橢圓于點(diǎn)B，過點(diǎn)A，B分別做x軸的垂線，垂足分別為A₁，B₁．
（1）若橢圓C的左、右焦點(diǎn)與其短軸的一個端點(diǎn)是正三角形的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)$D（{1，\frac{3}{2}}）$在橢圓C上，求橢圓C的方程；
（2）當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)，若點(diǎn)N平分線段A₁B₁，求橢圓C的離心率．

Answer 1

分析 （1）由題意運(yùn)用正三角形的性質(zhì)可得b=$\sqrt{3}$c，將D代入橢圓方程，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解方程可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意可得直線l的方程，求得M，N的坐標(biāo)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P的坐標(biāo)，運(yùn)用對稱可得Q的坐標(biāo)，聯(lián)立直線l和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得A（x₁，y₁）；設(shè)B（x₂，y₂），聯(lián)立直線QM的方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，可得B的橫坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可得到3a²=4b²，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求離心率．

解答 解：（1）由橢圓C的左、右焦點(diǎn)與其短軸的一個端點(diǎn)是正三角形
的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)$D（{1，\frac{3}{2}}）$在橢圓C上，
得$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}c\\ \frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b^2}=3\\{a^2}=4\end{array}\right.$，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）當(dāng)$k=\frac{1}{2}$時(shí)，由$y=\frac{1}{2}x+m$得M（0，m），N（-2m，0），
∵PM=MN，
∴P（2m，2m），Q（2m，-2m），
∴直線QM的方程為$y=-\frac{3}{2}x+m$，
設(shè)A（x₁，y₁），由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+m\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$，
得$（{\frac{1}{4}{a^2}+{b^2}}）{x^2}+{a^2}mx+{a^2}（{{m^2}-{b^2}}）=0$，
∴${x_1}+2m=\frac{{-4{a^2}m}}{{{a^2}+4{b^2}}}$，∴${x_1}=-\frac{{2m（{3{a^2}+4{b^2}}）}}{{{a^2}+4{b^2}}}$，
設(shè)B（x₂，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{2}x+m\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.$得$（{\frac{9}{4}{a^2}+{b^2}}）{x^2}-3{a^2}mx+{a^2}（{{m^2}-{b^2}}）=0$
∴${x_2}+2m=\frac{{12{a^2}m}}{{9{a^2}+4{b^2}}}$，∴${x_2}=-\frac{{2m（{3{a^2}+4{b^2}}）}}{{9{a^2}+4{b^2}}}$，
∵點(diǎn)N平分線段A₁B₁，∴x₁+x₂=-4m，
∴$-\frac{{2m（{3{a^2}+4{b^2}}）}}{{{a^2}+4{b^2}}}-\frac{{2m（{3{a^2}+4{b^2}}）}}{{9{a^2}+4{b^2}}}=-4m$，∴3a²=4b²，
∴${x_1}=-3m，{y_1}=-\frac{1}{2}m$，代入橢圓方程得m²=$\frac{1}{7}$b²＜b²，符合題意，
∵a²=b²+c²=$\frac{3}{4}$a²+c²，即$\frac{1}{4}$a²=c²，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用正三角形的性質(zhì)和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．