分析 (1)推導(dǎo)出拋物線過x軸上(1,0)點,從而c=1,再由離心率能求出a=√2,b=1,由此能求出橢圓C的方程.
(2)設(shè)l的方程為y=k(x+4),聯(lián)立{y=k(x+4)x2+2y2=2⇒(1+2k2)x2+16k2x+32k2−2=0,由此利用根的判別式、韋達定理,結(jié)合已知條件能求出常數(shù)λ=27.
解答 (1)∵拋物線x2=4y在點P(2,1)處的切線方程為y=x-1,
∴它過x軸上(1,0)點,
∴橢圓C的一個焦點為(1,0)即c=1
又∵e=ca=√22,
∴a=√2,b=1,
∴橢圓C的方程為x22+y2=1
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),l的方程為y=k(x+4),
聯(lián)立{y=k(x+4)x2+2y2=2⇒(1+2k2)x2+16k2x+32k2−2=0,
∴{△>0x1+x2=−16k21+2k2x1x2=32k2−21+2k2,∵F1(−1,0),k1=y1x1+1,k2=y2x2+1,
∴1k1+1k2=x1+1y1+x2+1y2=1k(x1+1x1+4+x2+1x2+4),
∴kk1+kk2=2x1x2+5(x1+x2)+8x1x2+4(x1+x2)+16=27,
∴k1k+k2k=27k1k2,
∴存在常數(shù)λ=27.
點評 本題考查橢圓方程求法,考查滿足條件的實數(shù)值的求法,考查橢圓、韋達定理、根的判別式、直線方程、弦長公式等基礎(chǔ)知識,考查推理論證能力、運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,是中檔題.
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A. | x=π12 | B. | x=π4 | C. | x=5π6 | D. | x=5π12 |
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p(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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