Question

8．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1+2lnx}{x^2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）令g（x）=ax²-2lnx-1，若函數(shù)y=g（x）有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若存在x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，使$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{ln{x_1}-ln{x_2}}}≤k$成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而確定a的范圍即可；
（3）妨設(shè)x₁＞x₂＞0，則lnx₁-lnx₂＞0，不等式即f（x₁）-klnx₁≤f（x₂）-klnx₂，令h（x）=f（x）-klnx（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{-4lnx}{x^3}$．令f'（x）=0得x=1，
x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
綜上，f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）．    …（3分）
（2）$g'（x）=2ax-\frac{2}{x}=\frac{{2（{a{x^2}-1}）}}{x}$…（4分）
①當a≤0時，g'（x）＜0，單調(diào)遞減，故不可能有兩個根，舍去．    …（5分）
②當a＞0時，$x∈（{0，\sqrt{\frac{1}{a}}}）$時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
$x∈（{\sqrt{\frac{1}{a}}，+∞}）$時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．                  …（6分）
所以$g（{\sqrt{\frac{1}{a}}}）＜0$得0＜a＜1．
綜上，0＜a＜1…（7分）
（3）不妨設(shè)x₁＞x₂＞0，則lnx₁-lnx₂＞0．
不等式即f（x₁）-f（x₂）≤k（lnx₁-lnx₂），亦即f（x₁）-klnx₁≤f（x₂）-klnx₂．
令h（x）=f（x）-klnx（x＞0），則h（x）在（0，+∞）不單調(diào)遞增．              …（8分）
$h'（x）=\frac{-4lnx}{x^3}-\frac{k}{x}$．
若h（x）單調(diào)遞增，則h′（x）≥0即k≤-$\frac{4lnx}{{x}^{2}}$恒成立．                      …（9分）
令$φ（x）=-\frac{4lnx}{x^2}$，$φ'（x）=-\frac{4-8lnx}{x^3}$．
令φ'（x）=0得x=$\sqrt{e}$，φ（x）在$（0，\sqrt{e}）$遞增，$（\sqrt{e}，+∞）$遞減．
∴$φ{(diào)（x）_{min}}=φ（\sqrt{e}）=-\frac{2}{e}$，則$k≤-\frac{2}{e}$．                                  …（11分）
故h（x）不單調(diào)遞增，則$k∈（-\frac{2}{e}，+∞）$．                                 …（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．