Question

12．如圖所示，已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l交雙曲線的漸近線于A，B兩點(diǎn)，且直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，則該雙曲線的離心率為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先求出直線l的方程為y=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$（x-c），與y=±$\frac{a}$x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，
∴k_l=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$，
∴直線l的方程為y=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$（x-c），
與y=±$\frac{a}$x聯(lián)立，可得y=-$\frac{2abc}{3{a}^{2}-^{2}}$或y=$\frac{2abc}{{a}^{2}+^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，
∴$\frac{2abc}{{a}^{2}+^{2}}$=2•$\frac{2abc}{3{a}^{2}-^{2}}$，
∴a=$\sqrt{3}$b，
∴c=2b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．