Question

已知拋物線y²=4x，F是焦點，直線l是經過點F的任意直線．
（1）若直線l與拋物線交于兩點A、B，且OM⊥AB（O是坐標原點，M是垂足），求動點M的軌跡方程；
（2）若C、D兩點在拋物線y²=4x上，且滿足

OC

•

OD

=-4，求證直線CD必過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用直接法來求，設出M點的坐標，因為OM⊥AB，所以

OM

•

FM

=0，用含M點的坐標的式子表示，化簡，即可得到動點M的軌跡方程．
（2）先設點C、D的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），因為C，D D兩點在拋物線y²=4x上，代入拋物線方程，找出每個點橫縱坐標的關系式，再因為C，D滿足

OC

•

OD

=-4，得到x₁x₂+y₁y₂=-4，把直線CD用以y₁，y₂為參數的方程求出，化成點斜式，判斷是否過定點．

解答：解：（1）設動點M的坐標為（x，y）．                  
∵拋物線y²=4x的焦點是F（1，0），直線l恒過點F，且與拋物線交于兩點A、B，
又OM⊥AB，
∴

OM

⊥

FM

，即

OM

•

FM

=0．                   
∴（x，y）•（x-1，y）=0，化簡，得x²+y²-x=0． 
又當M與原點重合時，直線l與x軸重合，故x≠0．
∴所求動點M的軌跡方程是x²+y²-x=0（x≠0）．
（2）設點C、D的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．       
∵C、D在拋物線y²=4x上，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，即x1+x2=

y 2 1 + y 2 2

4

，x1x2=

y 2 1 y 2 2

16

．
又

OC

•

OD

=-4，
∴x1x2+y1y2=-4，即

y 2 1 y 2 2

16

+y1y2=-4，解得y1y2=-8．    
∵點C、D的坐標為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
∴直線CD的一個法向量是

n

=(y1-y2，x2-x1)，
可得直線CD的方程為：（y₁-y₂）（x-x₁）+（x₂-x₁）（y-y₁）=0，
化簡，得（y₁-y₂）x+（x₂-x₁）y+x₁y₂-y₁x₂=0，進一步用y₁、y₂分別替換x₁、x₂，有(y1-y2)x+

y1+y2

4

(y2-y1)y-2(y1-y2)=0．
又拋物線y²=4x上任兩點的縱坐標都不相等，即y₁-y₂≠0．
∴直線CD的方程可化為x-

y1+y2

4

y-2=0．  
∴直線CD恒過定點，且定點坐標為（2，0）．

點評：本題主要考查了直接法求軌跡方程，以及直線與拋物線相交關系的判斷，關鍵在于若何找到各參數之間的關系，減少參數的個數．