Question

17．已知函數f（x）=x+alnx，在x=1處的切線與直線x+2y=0垂直，函數$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}{x^2}-bx$．
（1）求實數a的值；
（2）設x₁，x₂（x₁＜x₂）是函數g（x）的兩個極值點，若$b≥\frac{13}{3}$，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

Answer 1

分析 （1求出函數的導數，利用切線與已知直線垂直，列出方程，即可求解a的值．
（2）求出g'（x），列出求解函數的極值點的方程，利用韋達定理，化簡g（x₁）-g（x₂），構造新函數，通過新函數的導數求解函數的最值．

解答 解：（1）直線x+2y=0的斜率為-$\frac{1}{2}$；
故在x=1處的切線的斜率為2；
f′（x）=1+$\frac{a}{x}$，
故f′（1）=1+a=2；
解得，a=1．
（2）$g（x）=f（x）+\frac{1}{2}{x^2}-bx$=x+lnx+$\frac{1}{2}$x²-bx，x＞0
∴g′（x）=1+$\frac{1}{x}$+x-b=$\frac{{x}^{2}-（b-1）x+1}{x}$
令g′（x）=0，得x²-（b-1）x+1=0，∴x₁+x₂=b-1，x₁x₂=1，
∴g（x₁）-g（x₂）=（x₁+lnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²-bx₁）-（x₂+lnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²-bx₂）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{2}$（x₁²-x₂²）-（b-1）（x₁-x₂）=ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$），
∵0＜x₁＜x₂，設t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$，（0＜t＜1）
設h（x）=lnt-$\frac{1}{2}$（t-$\frac{1}{t}$），
則h′（x）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{{t}^{2}}$）=-$\frac{（t-1）^{2}}{2{t}^{2}}$＜0
∴（x₁+x₂）²=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=t+$\frac{1}{t}$+2≥$\frac{100}{9}$
∵0＜t＜1，
∴9t²-82t+9≥0
解0＜$\frac{1}{9}$≤t，
∴h（t）≥h（$\frac{1}{9}$）=ln$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{9}$-9）=$\frac{40}{9}$-ln9
∴g（x₁）-g（x₂）的最小值$\frac{40}{9}$-ln9

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的極值的求法韋達定理以及構造法的應用，考查分析問題解決問題的能力，轉化思想的應用．