Question

10．已知矩陣$A=[{\begin{array}{l}a&1\\ 1&a\end{array}}]$（a為實數(shù)）．
（1）若矩陣A存在逆矩陣，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若直線l：x-y+4=0在矩陣A對應的變換作用下變?yōu)橹本�l'：x-y+2a=0，求實數(shù)a的值；
（3）在（2）的條件下，求A⁵．

Answer 1

分析 （1）利用矩陣可逆的充要條件可知丨A丨≠0，即可求得a的取值范圍；
（2）根據(jù)矩陣變換的定義，由$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{ax+y}\\{x+ay}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，求得x′及y′，代入x'-y'+2a=0，即可求得a的值；
（3）根據(jù)矩陣的乘法求得A²，由A⁴=A²A²，求得A⁴，A⁵=A⁴A，即可求得A⁵．

解答 解：（1）由矩陣A存在逆矩陣，丨A丨≠0，
∴$|{\begin{array}{l}a&1\\ 1&a\end{array}}|={a^2}-1≠0$，
∴a≠±1…（3分）
（2）設l上任一點為（x，y）在A的作用下變?yōu)辄c（x'，y'），
$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{1}&{a}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{ax+y}\\{x+ay}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
所以$\left\{{\begin{array}{l}{x'=ax+y}\\{y'=x+ay}\end{array}}\right.$…（6分）
所以x'-y'+2a=ax+y-x-ay+2a=（a-1）x+（1-a）y+2a=0，
所以a=2…（9分）
${A^2}=[{\begin{array}{l}2&1\\ 1&2\end{array}}][{\begin{array}{l}2&1\\ 1&2\end{array}}]=[{\begin{array}{l}5&4\\ 4&5\end{array}}]$
（3）${A^4}=[{\begin{array}{l}5&4\\ 4&5\end{array}}][{\begin{array}{l}5&4\\ 4&5\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{41}&{40}\\{40}&{41}\end{array}}]$，
${A^5}=[{\begin{array}{l}{41}&{40}\\{40}&{41}\end{array}}][{\begin{array}{l}2&1\\ 1&2\end{array}}]=[{\begin{array}{l}{122}&{121}\\{121}&{122}\end{array}}]$．…（14分）

點評 本題考查矩陣可逆的充要條件，考查矩陣的變換，矩陣的乘法，考查計算能力，屬于中檔題．