Question

若橢圓上存在一點與橢圓的兩個焦點構成頂角為120°的等腰三角形，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：討論A為頂角，根據對稱性，橢圓上存在一點A是短軸的一個端點，根據橢圓的對稱性可知|AF₁|=|AF₂|，根據△F₁AF₂是等腰三角形可推斷出短軸平分∠F₁AF₂，進而求得頂角的半角，進而根據sin60°=

|OF1|

|AF1|

=

c

a

（O為原點），求得橢圓的離心率，再由當F₁為頂角時，根據橢圓的定義，結合解三角形的知識，即可得到離心率．

解答： 解：∵橢圓上存在一點A與橢圓的兩個焦點F₁，F₂構成頂角為120°的等腰三角形，
當A為頂角時，則由橢圓的對稱性，可得A是短軸的一個端點，
∴|AF₁|=|AF₂|
又△F₁AF₂是等腰三角形，
∴短軸平分∠F₁AF₂
∴頂角的一半是

120°

2

=60°
∴sin60°=

|OF1|

|AF1|

=

c

a

（O為原點）
∴e=

c

a

=

3

2

．
當F₁為頂角時，AF₁=F₁F₂=2c，AF₂=2•2csin60°=2

3

c，
由橢圓的定義可得AF₁+AF₂=2a，即為（

3

+1）c=a，
則e=

1

3 +1

=

3 -1

2

．
故答案為：

3

2

或

3 -1

2

．

點評：本題考查橢圓的定義和性質，主要考查了橢圓的簡單性質：離心率的求法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．