Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)且垂直于軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）若直線是圓上的點(diǎn)處的切線，點(diǎn)是直線上任一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線，切點(diǎn)分別為，設(shè)切線的斜率都存在.求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線恒過(guò)定點(diǎn).

【解析（Ⅰ）由已知，設(shè)橢圓的方程為，

因?yàn)?/span>，不妨設(shè)點(diǎn)，代入橢圓方程得，，

又因?yàn)?/span>， 所以，，所以，，

所以的方程為.

（Ⅱ）依題設(shè)，得直線的方程為，即，

設(shè)，

由切線的斜率存在，設(shè)其方程為，

聯(lián)立得，，

由相切得，

化簡(jiǎn)得，即，

因?yàn)榉匠讨挥幸唤�，所�?/span>， 所以切線的方程為，即，同理，切線的方程為，

又因?yàn)閮汕芯�都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以， 所以直線的方程為，又， 所以直線的方程可化為，

即， 令得，

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).

【解析】

（Ⅰ）由已知條件布列關(guān)于a，b的方程，即可得到的方程；（Ⅱ）由題意得到兩切線MA，MB的方程，利用M點(diǎn)在切線MA，MB上，得到為AB的直線方程，從而問(wèn)題解決．

（Ⅰ）由已知，設(shè)橢圓的方程為，

因?yàn)?/span>，不妨設(shè)點(diǎn)，代入橢圓方程得，，

又因?yàn)?/span>， 所以，，所以，，

所以的方程為.

（Ⅱ）依題設(shè)，得直線的方程為，即，

設(shè)，

由切線的斜率存在，設(shè)其方程為，

聯(lián)立得，，

由相切得，

化簡(jiǎn)得，即，

因?yàn)榉匠讨挥幸唤猓�所�?/span>， 所以切線的方程為，即，同理，切線的方程為，

又因?yàn)閮汕芯�都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以， 所以直線的方程為，又， 所以直線的方程可化為，

即， 令得，

所以直線恒過(guò)定點(diǎn).