Question

14．已知直線l：ax+2by+3c=0和兩定點(diǎn)A（0，13），B（5，10），若點(diǎn)B在l上的射影為C，且a，2b，3c成等差數(shù)列，則|AC|的取值范圍為[$\sqrt{10}$，5$\sqrt{10}$]．

Answer 1

分析 運(yùn)用等差數(shù)列中項(xiàng)的性質(zhì)，結(jié)合直線方程可得直線恒過定點(diǎn)（1，-2），討論直線l的斜率不存在和為0，求得C的 坐標(biāo)，運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，即可得到所求最值，進(jìn)而得到所求范圍．

解答 解：a，2b，3c成等差數(shù)列，
可得a-4b+3c=0，
即有直線l：ax+2by+3c=0恒過定點(diǎn)P（1，-2），
若點(diǎn)B在l上的射影為C，
當(dāng)直線l的斜率不存在，即方程為x=1，
可得C（1，10），
|AC|取得最小值為$\sqrt{（0-1）^{2}+（13-10）^{2}}$=$\sqrt{10}$；
當(dāng)直線l的斜率為0，即方程為y=-2，
可得C（5，-2），
|AC|取得最大值為$\sqrt{（0-5）^{2}+（13+2）^{2}}$=5$\sqrt{10}$．
則|AC、的取值范圍是[$\sqrt{10}$，5$\sqrt{10}$]．
故答案為：[$\sqrt{10}$，5$\sqrt{10}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段長的取值范圍，注意運(yùn)用旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)思想，同時(shí)考查等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，以及直線恒過定點(diǎn)求法，考查運(yùn)算能力和數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于中檔題．