Question

9．金老師為投資理財，考慮了兩種投資計劃，
計劃A：從2015年初開始購買投資產(chǎn)品，每個月1號投資，第一次投次1500元錢，用于購買“余額寶”，“余額寶”的月收益率為0.5%（類似于銀行存款，月底結算利息）；
計劃B：從2015年初開始購買投資產(chǎn)品，每個月1號投資，第一次投次1000元錢，以后每一次比上一次多投資200元，用于購買同一只股票，到2016年底（2016年12月31日），這只股票收益50%的概率為$\frac{1}{4}$，虧損$\frac{1}{12}$的概率為$\frac{3}{4}$．若兩計劃的收益均不考慮手續(xù)費．
（1）求計劃B到2016年底的收益的期望值；
（2）根據(jù)2016年年底的收益，從收益率的角度出發(fā)，試問你將選擇何種投資？
（注：收益率=$\frac{收益}{投資總額}$，參考數(shù)據(jù)1.005²⁴≈1.13，$\frac{7}{80}$≈0.0875，$\frac{11}{176}$≈0.0625）

Answer 1

分析 （1）設計劃B每個月的投資金額構成的數(shù)列為{a_n}，則{a_n}是以a₁=100為首項，200為公差的等差數(shù)列，從2015年初至2017年末共存了20個月，共投資金額79200，設X為投資股票79200元的獲利金額，
則依題意可得X的取值為39600元，-6600元，分別求出相應的概率，由此能求出計劃B到2016年底的收益的期望值．
（2）計劃A每個月的投資金額構成的數(shù)列是一個常數(shù)列{b_n}，b_n=1500n，設計劃A投資2年的本息總和為T_n，q=1.005，則T_n=1500（q²⁴+q²³+q²²+…+q）=39195，求出計劃A的收益率，由此能求出結果．

解答 解：（1）設計劃B每個月的投資金額構成的數(shù)列為{a_n}，
則依題意可知{a_n}是以a₁=100為首項，200為公差的等差數(shù)列，
∴從2015年初至2017年末共存了20個月，共投資金額：
S_n=24×1000+$\frac{24（24-1）×200}{2}$=79200，
設X為投資股票79200元的獲利金額，
則依題意可得X的取值為39600元，-6600元，
P（X=39600）=$\frac{1}{4}$，P（X=-6600）=$\frac{3}{4}$，
∴X的分布列為：

X	39600	-6600
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{4}$

∴計劃B到2016年底的收益的期望值EX=$39600×\frac{1}{4}+（-6600）×\frac{3}{4}$=4950．
（2）計劃A每個月的投資金額構成的數(shù)列是一個常數(shù)列{b_n}，b_n=1500n，
設計劃A投資2年的本息總和為T_n，q=1.005，
則T_n=1500（q²⁴+q²³+q²²+…+q）
=1500×$\frac{q（1-{q}^{24}）}{1-q}$
=1500×$\frac{1.005（1-1.13）}{1-1.005}$
=39195，
∵計劃A共投資1500×24=36000，
∴計劃A的收益率為$\frac{39195-36000}{36000}$=$\frac{7}{80}≈0.0875$，
由（1）知計劃B的收益率為$\frac{4950}{79200}$=$\frac{11}{176}$≈0.0625＜0.0875．
∴從收益率的角度出發(fā)，我將選擇計劃A進行投資．

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學期望的求法及應用，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．