Question

20．已知橢圓A，B滿足：過橢圓C的右焦點$F（\sqrt{2}，0）$且經(jīng)過短軸端點的直線的傾斜角為$\frac{π}{4}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)O為坐標原點，若點A在直線y=2上，點B在橢圓C上，且OA⊥OB，求線段AB長度的最小值．

Answer 1

分析 （1）由過橢圓C的右焦點$F（\sqrt{2}，0）$且經(jīng)過短軸端點的直線的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)點A，B的坐標分別為（t，2），（x₀，y₀），由OA⊥OB知tx₀+2y₀=0，再由${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}$=4，利用基本不等式能求出線段AB長度的最小值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的短軸端點為（0，-b）（若為上端點則傾斜角為鈍角），
則過右焦點與短軸端點的直線的斜率k=$\frac{0-（-b）}{\sqrt{2}-1}$=tan$\frac{π}{4}$=1，
∴$b=\sqrt{2}$，又$c=\sqrt{2}$，∴a=2，
∴C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（4分）
（2）設(shè)點A，B的坐標分別為（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0，
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即就是tx₀+2y₀=0，…（6分）
解得t=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$．又${{x}_{0}}^{2}+2{{y}_{0}}^{2}$=4，
∴|AB|=（x₀-t）²+（y₀-2）²=（${x}_{0}+\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$）²+（y₀-2）²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀≤4），…（10分）
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}+\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4，（0＜x₀≤4），
且當$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}=\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$，即${{x}_{0}}^{2}$=4時等號成立，
所以線段AB長度的最小值為4．…（12分）

點評 本題考查橢圓性質(zhì)、直線斜率、向量、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，屬于中檔題．