15.已知雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的離心率為$\frac{\sqrt{5}}{2}$,過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與兩條漸近線(xiàn)分別交于點(diǎn)A、B且與其中一條漸近線(xiàn)垂直,若△OAB的面積為$\frac{8}{3}$,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),則雙曲線(xiàn)的焦距為( 。
A.2$\sqrt{3}$B.2$\sqrt{5}$C.2$\sqrt{10}$D.2$\sqrt{15}$

分析 求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程,設(shè)兩條漸近線(xiàn)的夾角為θ,由兩直線(xiàn)的夾角公式,可得tanθ=tan∠AOB,求出F到漸近線(xiàn)y=$\frac{a}$x的距離為b,即有|OB|=a,△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$a•atanθ,結(jié)合條件可得a,b的關(guān)系,再由離心率公式即可計(jì)算得到.

解答 解:由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,a2+b2=c2
雙曲線(xiàn)$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>0,b>0)的漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x,
設(shè)兩條漸近線(xiàn)的夾角為θ,則tanθ=tan∠AOB=$\frac{2ab}{{a}^{2}-^{2}}$,
設(shè)FB⊥OB,則F到漸近線(xiàn)y=$\frac{a}$x的距離為d=b,
即有|OB|=a,
則△OAB的面積可以表示為$\frac{1}{2}$•a•atanθ=$\frac{{a}^{3}b}{{a}^{2}-^{2}}$=$\frac{8}{3}$,
解得a=2,b=1,c=$\sqrt{5}$,即2c=2$\sqrt{5}$.
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的焦距的求法,注意運(yùn)用雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程和離心率公式,以及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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