Question

3．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x≥0時，f（x）=$\frac{1}{2}$（|x-$\frac{m}{3}}$|+|x-$\frac{2m}{3}}$|-m）（m＞0），若對任意的實數(shù)x，都有f（x-1）≤f（x）成立，則m的最大值是0＜m≤$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通過零點分段去掉絕對值，確定函數(shù)的解析式，通過圖象分析，解決恒成立問題．

解答 解：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x}&{0≤x＜\frac{m}{3}}\\{-\frac{m}{3}}&{\frac{m}{3}≤x＜\frac{2m}{3}}\\{x-m}&{x≥\frac{2m}{3}}\end{array}\right.$，由奇函數(shù)的圖象特點，畫出函數(shù)圖象，

若對任意的實數(shù)x，都有f（x-1）≤f（x）成立的含義為f（x）的圖象向右平移一個單位以后圖象恒在f（x）的下方或相等．
只需2m≤1，則0＜m≤$\frac{1}{2}$，
故答案為：$0＜m≤\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的平移，同時考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．對于學生靈活解決恒成立問題有很大的幫助．