Question

【題目】已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：

(1)y1y2＝－p2，；(2)為定值；

(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】試題分析：（1）求出拋物線的焦點和準線方程，設直線方程是，代入拋物線方程，運用韋達定理，結合拋物線方程，即可得證；（2）運用拋物線的定義和韋達定理，計算即可得到定值；（3）求出的中點坐標，以及的長，求得圓的圓心和半徑，運用直線和圓相切的條件：即可得證.

試題解析：　(1)由已知得拋物線焦點坐標為(，0).由題意可設直線方程為x＝my＋，

代入y2＝2px，得y2＝2p(my＋)，即y2－2pmy－p2＝0.(*)

則y1，y2是方程(*)的兩個實數根，所以y1y2＝－p2.

因為y＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

(2)＋＝＋＝.

因為x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

得＋＝＝ (定值).

(3)設AB的中點為M(x0，y0)，分別過A，B作準線的垂線，垂足為C，D，過M作準線的垂線，垂足為N，則|MN|＝ (|AC|＋|BD|)＝ (|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切