坐標平面中，向量
w
與向量
v
=(2，
5
)互相垂直且等長．請問下列哪些選項是正確的？
（1）向量
w
必為(
5
，-2)或(-
5
，2)
（2）向量
v
+
w
與
v
-
w
等長
（3）向量
v
+
w
與
w
的夾角可能為135°
（4）若向量
u
=a
v
+b
w
，其中，a，b為實數(shù)，則向量
u
的長度為
a2+b2

（5）若向量(1，0)=c
v
+d
w
，其中c，d為實數(shù)，則c＞0．
分析：（1）由向量
w
與向量
v
互相垂直且等長，可設(shè)
w
=(x，y)，列方程組求出；
（2）求出向量
v
+
w
與
v
-
w
的模長；
（3）求出向量
v
+
w
與
w
的夾角；
（4）求出向量
u
的長度；
（5）由向量(1，0)=c
v
+d
w
，列方程組，求出實數(shù)c，即可．
解答：解：（1）設(shè)
w
=(x，y)，∵
w
⊥
v
?
w
•
v
=0?2x+
5
y=0①；
又∵|
w
|=|
v
|?
x2+y2
=
22+(
5
)2
?x2+y2=9②；
由①②可得：(x，y)=(-
5
，2)或(
5
，-2)，故結(jié)論正確；
（2）∵
v
+
w
=(2-
5
，
5
+2)，
v
-
w
=(2+
5
，
5
-2)，
或
v
+
w
=（2+
5
，
5
-2），
v
-
w
=（2-
5
，
5
+2）；
∴|
v
+
w
|=|
v
-
w
|=
(2-
5
)2+(
5
+2)2
=
18
=3
2
，故結(jié)論正確；
（3）設(shè)
v
+
w
與
w
的夾角為θ，則cosθ=
(
v
+
w
)•
w
|
v
+
w
|×|
w
|
=
v
•
w
+|
w
|2
|
v
+
w
|×|
w
|
=
|
w
|2
|
v
+
w
|×|
w
|
=
1
2
?θ=45°，
故（3）結(jié)論不正確；
（4）∵
u
=a
v
+b
w
=(2a-
5
b，
5
a+2b)或(2a+
5
b，
5
a-2b)，
∴|
u
|=
(2a-
5
b)2+(
5
a+2b)2
=3
a2+b2
，故結(jié)論不正確；
（5）∵c
v
+d
w
=(1，0)?(2c-
5
d，
5
c+2d)=(1，0)或(2c+
5
d，
5
c-2d)=(1，0)?
2c-
5
d=1
5
c+2d=0
或
2c+
5
d=1
5
c-2d=0
?c=
2
9
，∴c＞0結(jié)論正確；
點評：本題是平面向量性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了求向量的模長，夾角，向量相等，以及解方程組等問題的基本解法，和等價轉(zhuǎn)化思想，要區(qū)分向量運算與數(shù)的運算，以避免出現(xiàn)錯誤．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P（x，y），M(
x2-9
，0)，O為坐標原點，若實數(shù)λ使向量
A1P
，λ
OM
和
A2P
滿足：λ2(
OM
)2=
A1P
•
A2P
，設(shè)點P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程，并判斷W是怎樣的曲線；
（Ⅱ）當λ=
3
3
時，過點A1且斜率為1的直線與W相交的另一個交點為B，能否在直線x=-9上找到一點C，恰使△A1BC為正三角形？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè),在平面直角坐標系中,已知向量,向量,,動點的軌跡為E.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知A1（-3，0），A2（3，0），P（x，y），M數(shù)學(xué)公式，O為坐標原點，若實數(shù)λ使向量數(shù)學(xué)公式，數(shù)學(xué)公式和數(shù)學(xué)公式滿足：數(shù)學(xué)公式，設(shè)點P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程，并判斷W是怎樣的曲線；
（Ⅱ）當數(shù)學(xué)公式時，過點A1且斜率為1的直線與W相交的另一個交點為B，能否在直線x=-9上找到一點C，恰使△A1BC為正三角形？請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：臺灣 題型：解答題

坐標平面中，向量
w
與向量
v
=(2，
5
)互相垂直且等長．請問下列哪些選項是正確的？
（1）向量
w
必為(
5
，-2)或(-
5
，2)
（2）向量
v
+
w
與
v
-
w
等長
（3）向量
v
+
w
與
w
的夾角可能為135°
（4）若向量
u
=a
v
+b
w
，其中，a，b為實數(shù)，則向量
u
的長度為
a2+b2

（5）若向量(1，0)=c
v
+d
w
，其中c，d為實數(shù)，則c＞0．

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