Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）與直線y=m有且只有一個公共點，求m的取值范圍；
（Ⅱ）過點P（2，-6）作曲線y=f（x）的切線，求此切線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出其導(dǎo)函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出其極值，求出m的范圍即可；
（II）先根據(jù)解析式設(shè)出切點坐標，利用點斜式和f′（x）求出切線方程，再把點P（2，-6）代入切線方程，求出切點的橫坐標x₀，再代入切線方程化簡即可．

解答 解：（Ⅰ）令f′（x）=3x²-3=0，得x=±1，
可求得f（x）的極大值為f（-1）=2，極小值為f（1）=-2，
故當滿足-2＜m＜2時，恰有三個不同公共點．
（II）∵f（x）=x³-3x，∴設(shè)切點為Q（x₀，x03-3x0），
則所求切線方程為：y-（x03-3x0）=（3x₀²-3）（x-x₀）①，
∵切線過點P（2，-6），∴-6-（x03-3x0）=（3x₀²-3）（2-x₀），
解得x₀=0或x₀=3，代入①化簡得y=-3x或y+6=24（x-2），
∴切線方程為3x+y=0或24x-y-54=0．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及切點在曲線和切線上的應(yīng)用，注意“在某點處的切線”和“過某點處的切線”的區(qū)別和求法．