Question

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=

2

，CE=EF=1．
（Ⅰ）求證：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求三棱錐A-BDE的體積．

Answer 1

分析：（I）設(shè)AC與BD交點(diǎn)G，由正方形ABCD邊長(zhǎng)為

2

算出AG=1，結(jié)合EF∥AG且EF=1，證出四邊形AGEF為平行四邊形，得AF∥EG，最后根據(jù)線面平行判定定理即可證出AF∥平面BDE；
（II）由面面垂直性質(zhì)定理，證出CE⊥平面ABCD，可得CE就是三棱錐E-ABD的高，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)算出三棱錐E-ABD的體積等于

1

3

，由此即可得到三棱錐A-BDE的體積．

解答：解：（I） 設(shè)AC與BD交點(diǎn)G．
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)AB=

2

，∴AC=

2

AB=2，AG=

1

2

AC=1
又∵EF∥AG，且EF=1，
∴EF與AG平行且相等，可得四邊形AGEF為平行四邊形．
∴AF∥EG，
∵EG?平面BDE，AF?平面BDE，∴AF∥平面BDE．
（2）∵平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，
CE?平面ACEF，CE⊥AC，
∴CE⊥平面ABCD，可得CE就是三棱錐E-ABD的高
∵三角形ABD的面積S_△ABD=

1

2

S_ABCD=1，CE=1
∴三棱錐E-ABD的體積為V_E-ABD=

1

3

×S_△ABD×CE=

1

3

因此，三棱錐A-BDE的體積V=V_E-ABD=

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題在特殊多面體中求證線面平行，并求錐體的體積．著重考查了線面平行判定定理、面面垂直的性質(zhì)和錐體體積公式的求法等知識(shí)，屬于中檔題．