Question

20．全世界越來越關(guān)注環(huán)境保護問題，某監(jiān)測站點于2016年8月某日起連續(xù)n天監(jiān)測空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI），數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

空氣質(zhì)量指數(shù)（μg/m3）	0-50	51-100	101-150	151-200	201-250
空氣質(zhì)量等級	空氣優(yōu)	空氣良	輕度污染	中度污染	重度污染
天數(shù)	20	40	m	10	5

（1）根據(jù)所給統(tǒng)計表和頻率分布直方圖中的信息求出n，m的值，并完成頻率分布直方圖：

（2）由頻率分布直方圖，求該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)；
（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)分別為51-100和151-200的監(jiān)測數(shù)據(jù)中，用分層抽樣的方法抽取5天，從中任意選取2天，求事件A“兩天空氣都為良”發(fā)生的概率．

Answer 1

分析 解：（1）由$0.004×50=\frac{20}{n}$，求出n=100，從而求出m=25，由此能完成頻率分布直方圖．
（2）由頻率分布直方圖能求出該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)．
（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)為51-100和151-200的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取4天和1天，在所抽収的5天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為51-100的4天分別記為a，b，c，d；將空氣質(zhì)量指數(shù)為151-200的1天記為e，利用列舉法求出從中任取2天的基本事件和事件A“兩天空氣都為良”包含的基本事件，由此能求出事件A“兩天都為良”發(fā)生的概率．

解答 解：（1）∵$0.004×50=\frac{20}{n}$，∴n=100，
∵20+40+m+10+5=100，∴m=25，
$\frac{40}{100×50}=0.008；\frac{25}{100×50}=0.005；\frac{10}{100×50}=0.002；\frac{5}{100×50}=0.001$．
由此完成頻率分布直方圖，如下圖：

（2）由頻率分布直方圖得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：
$\overline{x}$=25×0.004×50+75×0.008×50+125×0.005×50+175×0.002×50+225×0.001×50=95，
∵[0，50）的頻率為0.004×50=0.2，[50，100）的頻率為：0.008×50=0.4，
∴中位數(shù)為：50+$\frac{0.5-0.2}{0.4}×50$=87.5．
（3）在空氣質(zhì)量指數(shù)為51-100和151-200的監(jiān)測天數(shù)中分別抽取4天和1天，
在所抽収的5天中，將空氣質(zhì)量指數(shù)為51-100的4天分別記為a，b，c，d；
將空氣質(zhì)量指數(shù)為151-200的1天記為e，
從中任取2天的基本事件分別為：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），
（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10種，
其中事件A“兩天空氣都為良”包含的基本事件為：
（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）共6種，
所以事件A“兩天都為良”發(fā)生的概率是$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．