Question

已知函數f（x）=3x+lnx+

4

x

+1（自然對數的底數e=2.71828…）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求函數f（x）在[

1

e

，e]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）因為f(x)=3x+lnx+

4

x

+1所以f′(x)=3+

1

x

-

4

x2

=

3x2+x-4

x2

，(x＞0)，從而f（x）的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）由（1）可知，分別討論①當

1

e

＜a≤1，②當1＜a≤e時的情況，從而求出函數在區(qū)間上的最值．

解答： 解：（1）因為f(x)=3x+lnx+

4

x

+1
所以f′(x)=3+

1

x

-

4

x2

=

3x2+x-4

x2

，(x＞0)，
令f'（x）＞0得x＞1（x＜-

4

3

舍去）
令f'（x）＜0得0＜x＜1，
∴f（x）的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為（1，+∞）．
（2）由（1）可知，
①當

1

e

＜a≤1時，函數f（x）在[

1

e

，a]上遞減，
∴fmax(x)=f(

1

e

)=

3

e

+4e，
∴fmin(x)=f(a)=3a+lna+

4

a

+1，
②當1＜a≤e時，函數f（x）在[

1

e

，1]上遞減，在[1，e]上遞增
∴f_min（x）=f（1）=8，f（a）≤f（e），
∴f(

1

e

)-f(a)≥f(

1

e

)-f(e)=

3

e

-1+4e-3e-1-

4

e

=

(e-1)2-2

e

＞0，
即f(

1

e

)＞f(a)，
∴fmax(x)=f(

1

e

)=

3

e

+4e．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，導數的應用，考察分類討論思想，是一道綜合題．