Question

13．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）令g（x）=f（x）-（ax-1），求函數(shù)g（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=lnx+x，
則f（1）=1，所以切點(diǎn)為（1，1），
又f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，則切線斜率k=f′（1）=2，
故切線方程為：y-1=2（x-1），即2x-y-1=0；
（2）g（x）=f（x）-（ax-1）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1，
所以g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+（1-a）=$\frac{-{ax}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤＞0，所以g′（x）＞0．
所以g（x）在（0，+∞）上是遞增函數(shù)，無極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，g′（x）=$\frac{-a（x-\frac{1}{a}）（x+1）}{x}$，
令g′（x）=0，得x=$\frac{1}{a}$，
所以當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{a}$）時(shí)，g′（x）＞0；當(dāng)x∈（$\frac{1}{a}$，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，
因此函數(shù)g（x）在x∈（0，$\frac{1}{a}$）是增函數(shù)，在（$\frac{1}{a}$，+∞）是減函數(shù)，
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）的遞增區(qū)間是（0，$\frac{1}{a}$），遞減區(qū)間是（$\frac{1}{a}$，+∞），
∴x=$\frac{1}{a}$時(shí)，g（x）有極大值g（$\frac{1}{a}$）=$\frac{1}{2a}$-lna，
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）無極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）有極大值$\frac{1}{2a}$-lna，無極小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道綜合題．