Question

13．一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)5位的二進(jìn)制數(shù)（例如：若a₁=a₃=a₅=1，a₂=a₄=0，則A=10101，等等），其中二進(jìn)制數(shù)A的各位數(shù)字中，已知a₁=1，a_k（k=2，3，4，5）出現(xiàn)0的概率為$\frac{1}{3}$，出現(xiàn)1的概率為$\frac{2}{3}$．記X=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅，現(xiàn)在儀器啟動(dòng)一次．
（Ⅰ）求X=3的概率P（X=3）；
（Ⅱ）求X的數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)X=3時(shí)，a₁=1，可得a₂+a₃+a₄+a₅=2，a_k（k=2，3，4，5）中恰有2個(gè)取0，有2個(gè)取1，即可得出．
（Ⅱ）X可取值是1，2，3，4，5，設(shè)Y=X-1，則Y可取值是0，1，2，3，4，因此Y～B$（4，\frac{2}{3}）$，即可得出E（Y），
或直角計(jì)算．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)X=3時(shí)，∵a₁=1，∴a₂+a₃+a₄+a₅=2，a_k（k=2，3，4，5）中恰有2個(gè)取0，有2個(gè)取1，
因此$P（X=3）=C_4^2{（\frac{1}{3}）^2}{（\frac{2}{3}）^2}=\frac{8}{27}$．
（Ⅱ）X可取值是1，2，3，4，5，設(shè)Y=X-1，則Y可取值是0，1，2，3，4，
因此Y～B$（4，\frac{2}{3}）$，∴$E（Y）=4×\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$，
從而$E（X-1）=\frac{8}{3}$，∴$E（X）=\frac{8}{3}+1=\frac{11}{3}$．
另解：X可取值是1，2，3，4，5，$P（X=1）=C_4^4{（\frac{1}{3}）^4}{（\frac{2}{3}）^0}=\frac{1}{81}$，$P（X=2）=C_4^3{（\frac{1}{3}）^3}{（\frac{2}{3}）^1}=\frac{8}{81}$，$P（X=3）=\frac{8}{27}$，$P（X=4）=C_4^1{（\frac{1}{3}）^1}{（\frac{2}{3}）^3}=\frac{32}{81}$，$P（X=5）=C_4^0{（\frac{1}{3}）^0}{（\frac{2}{3}）^4}=\frac{16}{81}$，
∴X分布列是

X	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{81}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{8}{27}$	$\frac{32}{81}$	$\frac{16}{81}$

∴$E（X）=1×\frac{1}{81}+2×\frac{8}{81}+3×\frac{24}{81}+4×\frac{32}{81}+5×\frac{16}{81}=\frac{11}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)變量的二項(xiàng)分別的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望、二進(jìn)制，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．