Question

在長(zhǎng)方體AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，M、N分別是AB與BC的中點(diǎn)，則直線A₁M與C₁N的位置關(guān)系是

相交

； 它們所成角的大小是

arccos

10

5

；點(diǎn)A到對(duì)角線B₁D的距離是

30

3

．

Answer 1

分析：①連接A₁C₁，MN，由題意可得：MN∥A₁C₁，并且MN=

1

2

A₁C₁，進(jìn)而得到直線A₁M與C₁N相交．
②取A₁B₁，B₁C₁的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接BE，NF，可得BE∥A₁M，BF∥C₁N，所以∠EBF與所求角相等或者互補(bǔ)，再利用解三角形的有關(guān)知識(shí)求出答案．
③設(shè)點(diǎn)A到對(duì)角線B₁D的距離是 h，根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可得：AB1⊥AD，可得△AB₁D為直角三角形，進(jìn)而根據(jù)等面積法可得答案．

解答：解：長(zhǎng)方體如圖所示：

①連接A₁C₁，MN，
因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體AC₁中，M、N分別是AB與BC的中點(diǎn)，
所以MN∥A₁C₁，并且MN=

1

2

A₁C₁，
所以直線A₁M與C₁N相交，
所以直線A₁M與C₁N的位置關(guān)系是：相交．
②取A₁B₁，B₁C₁的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接BE，NF，
因?yàn)镸，E分別為AB，A₁B₁的中點(diǎn)，
所以BE∥A₁M，同理BF∥C₁N，
所以∠EBF與所求角相等或者互補(bǔ)．
因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，
所以在△BEF中有：BE=2

2

，BF=

5

，EF=

5

，
所以cos∠EBF=

10

5

，
所以直線A₁M與C₁N所成角的大小是arccos

10

5

．
③設(shè)點(diǎn)A到對(duì)角線B₁D的距離是 h，
根據(jù)長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征可得：AB1⊥AD，
所以△AB₁D為直角三角形，并且AD=2，AB₁=2

5

，B₁D=2

6

，
所以根據(jù)等面積法可得：h=

AD•AB1

B1D

=

30

3

．
故答案為：相交；arccos

10

5

；

30

3

．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征與空間中點(diǎn)、線、面得位置關(guān)系的判定，以及求空間角（平移法）與空間距離（等積法）的方法，也可以距離空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的有關(guān)運(yùn)算求空間角與空間距離，以及判斷線面的位置關(guān)系．