已知函數(shù).
(Ⅰ)求在處的切線方程；
(Ⅱ)求的單調區(qū)間；
（Ⅲ）若，求證：.
（Ⅰ）；（Ⅱ）當，的單調增區(qū)間；當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）求出導數(shù)及切點，利用直線的點斜式方程即可得切線方程.
（Ⅱ）將求導，利用求得其遞增區(qū)間，求得其遞減區(qū)間.
在本題中，，由得：.當, 的單調增區(qū)間；
當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.
（Ⅲ）本題首先要考慮的是，所要證的不等式與函數(shù)有什么關系？待證不等式可做如下變形： ，最后這個不等式與有聯(lián)系嗎？我們往下看.
,所以在上是增函數(shù).
因為，所以
即從這兒可以看出，有點聯(lián)系了.同理，
所以，
與待證不等式比較，只要問題就解決了，而這由重要不等式可證，從而問題得證.
試題解析：（Ⅰ），，所以切線為：即  3分
（Ⅱ），
，     4分
，,        5分
當，的單調增區(qū)間；     6分
當時,函數(shù)的單調遞增區(qū)間是,單調遞減區(qū)間是.  8分
（Ⅲ）,所以在上是增函數(shù), 上是減函數(shù)
因為，所以
即,同理.
所以
又因為當且僅當“”時，取等號.
又，,
所以,所以，
所以：.     14分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若是上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：當a≥1時，證明不等式≤x+1對x∈R恒成立；
（Ⅲ）對于在(0，1)中的任一個常數(shù)a，試探究是否存在x0>0，使得>x0+1成立？如果存在，請求出符合條件的一個x0；如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)．
(I)討論的單調性；
(Ⅱ)若在(1，+)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

(本小題13分) 已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）。
(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間；
(2)是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上是單調增函數(shù)？若存在，求出的值;若不存在，請說明理由。恒成立，則，又，

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，，其中且．
(Ⅰ) 當，求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
(Ⅱ)若時，函數(shù)有極值，求函數(shù)圖象的對稱中心的坐標；
（Ⅲ）設函數(shù) （是自然對數(shù)的底數(shù)），是否存在a使在上為減函數(shù)，若存在，求實數(shù)a的范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)，，．
（1）求函數(shù)的極值點；
（2）若在上為單調函數(shù)，求的取值范圍；
（3）設，若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）若，求函數(shù)的極值，并指出是極大值還是極小值；
（Ⅱ）若，求證：在區(qū)間上，函數(shù)的圖像在函數(shù)的圖像的下方.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù),曲線在點處切線方程為.
(1)求的值;
(2)討論的單調性,并求的極大值.

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

若，則的解集為            。

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