Question

1．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點(diǎn)，過F₂作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為點(diǎn)A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，且$\overrightarrow{A{F_2}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{F_2}B}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由題意得右焦點(diǎn)F₂（c，0），設(shè)一漸近線OA的方程為y=$\frac{a}$x，則另一漸近線OB的方程為y=-$\frac{a}$x，由垂直的條件可得F₂A的方程，代入漸近線方程，可得A，B的橫坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，結(jié)合離心率公式，解方程可得．

解答 解：由題意得右焦點(diǎn)F₂（c，0），
設(shè)一漸近線OA的方程為y=$\frac{a}$x，
則另一漸近線OB的方程為y=-$\frac{a}$x，
由F₂A的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立方程y=$\frac{a}$x，
可得A的橫坐標(biāo)為$\frac{{a}^{2}}{c}$，
由F₂A的方程為y=-$\frac{a}$（x-c），
聯(lián)立方程y=-$\frac{a}$x，
可得B的橫坐標(biāo)為$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$．
由$\overrightarrow{A{F_2}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{F_2}B}$，
可得3（c-$\frac{{a}^{2}}{c}$）=$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$-c，
即為-$\frac{3{a}^{2}}{c}$+4c=$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$，
由e=$\frac{c}{a}$，可得-$\frac{3}{{e}^{2}}$+4=$\frac{1}{2-{e}^{2}}$，
即有2e⁴-5e²+3=0，解得e²=$\frac{3}{2}$或1（舍去），
即為e=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查向量的共線的坐標(biāo)表示，求得點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．