Question

10．給定兩個命題，p：對任意實數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立；q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實數(shù)根．如果p與q中有且僅有一個為真命題，則實數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）．

Answer 1

分析 根據(jù)二次不等式恒成立，求出p為真時，0≤a＜4，根據(jù)二次方程有根的充要條件，可得命題q為真時，a≤$\frac{1}{4}$，進而得到答案．

解答 解：當a=0時，ax²+ax+1=1＞0恒成立；
當a≠0時，若ax²+ax+1＞0恒成立，則$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△={a}^{2}-4a＜0\end{array}\right.$，即0＜a＜4，
綜上可得：命題p為真時，0≤a＜4，
若方程x²-x+a=0有實數(shù)根，則△=1-4a≥0，即a≤$\frac{1}{4}$，
即命題q為真時，a≤$\frac{1}{4}$，
∵p與q中有且僅有一個為真命題，
當p真q假時，$\frac{1}{4}$＜a＜4，
當p假q真時，a＜0，
綜上可得：實數(shù)a的取值范圍為：（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）
故答案為：（-∞，0）∪（$\frac{1}{4}$，4）

點評 本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了二次不等式恒成立和二次方程根的個數(shù)判斷，難度中檔．