Question

11．已知函數(shù)f（x）=cos²（x+$\frac{π}{12}$），g（x）=1+$\frac{1}{2}$sin2x．
（1）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x₀）的值．
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角的余弦可求得f（x）=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]，x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸⇒2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ⇒g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（kπ-$\frac{π}{6}$），對k分k為偶數(shù)與k為奇數(shù)討論即可求得g（2x₀）的值；
（2）利用三角函數(shù)間的恒等變換可求得h（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論．

解答 解：（1）由題設(shè)知f（x）=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]，
∵x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，
∴2x₀+$\frac{π}{6}$=kπ，即2x₀=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈Z），
∴g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin2x₀=1+$\frac{1}{2}$sin（kπ-$\frac{π}{6}$），
當k為偶數(shù)時，g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin（-$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{4}$；
當k為奇數(shù)時，g（x₀）=1+$\frac{1}{2}$sin $\frac{π}{6}$=$\frac{5}{4}$．…（6分）
（2h（x）=f（x）+g（x）
=$\frac{1}{2}$[1+cos（2x+$\frac{π}{6}$）]+1+$\frac{1}{2}$sin2x
=$\frac{1}{2}$[cos（2x+$\frac{π}{6}$）+sin2x]+$\frac{3}{2}$
=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$sin2x）+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{3}{2}$．
當2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ-$\frac{π}{2}$，即kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$（k∈Z），
∴函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]（k∈Z），…（12分）

點評 本題考查二倍角的余弦、三角函數(shù)間的恒等變換、正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，考查分析與運算能力，屬于中檔題．