Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$ax²+（2a²+a-1）x+3，（a∈R）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 通過求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分a是否為2兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{3}{2}$ax²+（2a²+a-1）x+3，
∴f′（x）=x²-3ax+2a²+a-1=（x-$\frac{3}{2}$a）²-$\frac{1}{4}$（a-2）²，
下面對a的取值情況分類討論：
（1）當(dāng)a=2時，f′（x）=（x-3）²≥0恒成立，
即此時f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）當(dāng)a≠2時，令f′（x）=（x-$\frac{3}{2}$a）²-$\frac{1}{4}$（a-2）²=0，解得：x=a+1或2a-1，
①當(dāng)a＜2時，有：a+1＞2a+1，
此時當(dāng)x＜2a-1或x＞a+1時f′（x）＞0，當(dāng)2a-1＜x＜a+1時f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2a-1），（a+1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（2a-1，a+1）；
②當(dāng)a＞2時，有：a+1＜2a-1，
此時當(dāng)x＜a+1或x＞2a-1時f′（x）＞0，當(dāng)a+1＜x＜2a-1時f′（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，a+1），（2a-1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（a+1，2a-1）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．