Question

（1）若三角形的內切圓半徑為r，三邊的長分別為a，b，c，則三角形的面積S=

1

2

r（a+b+c），根據類比思想，若四面體的內切球半徑為R，四個面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，則此四面體的體積V=

 

．
（2）在平面幾何里有勾股定理：“設△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB²+AC²=BC²．”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積之間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三側面ABC，ACD，ADB兩兩垂直，則

 

．”

Answer 1

分析：（1）球心O到四個面S₁，S₂，S₃，S₄的距離都是R，四面體的體積等于以O為頂點，分別以S₁，S₂，S₃，S₄為底面的四個三棱錐
體積的和．
（2）猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²，作AE⊥CD連BE，則BE⊥CD，S_△BCD² =

1

4

CD2•BE²
=

1

4

CD2（AB²+AE²）=

1

4

（AC²+AD²）（AB²+AE²），再化簡即得結論．

解答：解：（1）設四面體內切球的球心為O，則球心O到四個面S₁，S₂，S₃，S₄的距離都是R，所以四面體的體積等于以O為頂點，分別以S₁，S₂，S₃，S₄為底面的四個三棱錐體積的和．
所以，V=

1

3

R（S₁+S₂+S₃+S₄），
故答案為：V=

1

3

R（S₁+S₂+S₃+S₄）．
（2）線的關系類比到面的關系，猜測：S_△BCD²=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．證明如下：
如圖作AE⊥CD連BE，則BE⊥CD．
S_△BCD² =

1

4

CD2•BE² =

1

4

CD2（AB²+AE²）=

1

4

（AC²+AD²）（AB²+AE²）=

1

4

（AC²AB² +AD²AB² +AC²AE²+AD²AE² ）
=

1

4

（AC²AB² +AD²AB²+CD²AE² ）=S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²，
故答案為：S_△BCD² =S_△ABC²+S_△ACD²+S_△ADB²．

點評：本題考查類比推理，用分割法求幾何體的體積，體現(xiàn)了數形結合的數學思想．