Question

17．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，F(xiàn)為線段PC上一點，E為線段PB上一點，PA=AB=2，AC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，則當(dāng)AF+FE取最小值時，AE與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．

Answer 1

分析 沿PB展開，使得A，F(xiàn)，E共面，則AE⊥PB時，AF+FE最小，求出AE，過P作AG⊥PC，則AG⊥平面PBC，∠AEG為AE與平面PBC所成角．

解答 解：沿PB展開，使得A，F(xiàn)，E共面，則展開圖中，AE⊥PB時，AF+FE最小，此時
cos∠CPD=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，sin∠CPD=$\frac{1}{3}$，∠CPA=30°，
∴cos∠APE=cos（∠CPD+30°）=$\frac{3\sqrt{2}-1}{6}$，
∴PE=$\frac{3\sqrt{2}-1}{3}$
由余弦定理可得AE=$\frac{\sqrt{19}}{3}$
∵PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，
∴PC⊥BC，AC⊥BC，
∴BC⊥平面PAC，
過P作AG⊥PC，則AG⊥平面PBC，∠AEG為AE與平面PBC所成角，
∵PA=2，AC=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，∴PC=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
由等面積可得2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$AG，∴AG=1，
∴AE與平面PBC所成角的正弦值=$\frac{AG}{AE}$=$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{19}}{19}$．

點評 本題考查線面角，考查學(xué)生的計算能力，正確作出線面角是關(guān)鍵．