Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB的中點(diǎn)．
（1）求證：CE∥平面PAD；
（2）若二面角P-AC-E的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取線段AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF，證明四邊形ADCF是平行四邊形，進(jìn)而證明面CFE∥面PAD，即可證明EC∥平面PAD；
（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角P-A C-E的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可求a的值，從而可求 $\overrightarrow{n}$，利用向量的夾角公式即可求得直線PA與平面EAC所成角的正弦值．

解答 （1）證明：取線段AB的中點(diǎn)F，連接EF，CF．則AF=CD，AF∥CD，
所以四邊形ADCF是平行四邊形，
則CF∥AD；
又EF∥AP且CF∩EF=F，
∴面CFE∥面PAD，
又EC?面CEF，
∴EC∥平面PAD   …（5分）
（2）解：如圖，以C為原點(diǎn)，取AB中點(diǎn)F，$\overrightarrow{CF}$、$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{CP}$分別為x軸、y軸、z軸正向，
建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，-1，0）．
設(shè)P（0，0，a）（a＞0），則E（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），…（6分）
$\overrightarrow{CA}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CP}$=（0，0，a），$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{a}{2}$），
取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），則$\overrightarrow{m}$為面PAC的法向量．
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為面EAC的法向量，則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{x-y+az=0}\end{array}\right.$
取x=a，y=-a，z=-2，則$\overrightarrow{n}$=（a，-a，-2），
依題意，|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則a=1．…（10分）
于是$\overrightarrow{n}$=（1，-1，-2），$\overrightarrow{PA}$=（1，1，-1）．
設(shè)直線PA與平面EAC所成角為θ，則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PA}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$． …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行、線面角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定，正確求出平面的法向量，屬于中檔題．