Question

已知坐標(biāo)平面內(nèi)⊙C：(x+1)2+y2=

1

4

，⊙D：(x-1)2+y2=

49

4

．動(dòng)圓P與⊙C 外切，與⊙D內(nèi)切．
（1）求動(dòng)圓圓心P的軌跡C₁的方程；
（2）若過(guò)D點(diǎn)的斜率為2的直線與曲線C₁交于兩點(diǎn)A、B，求AB的長(zhǎng)；
（3）過(guò)D的動(dòng)直線與曲線C₁交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)為M，求M的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)動(dòng)圓P與⊙C 外切，與⊙D內(nèi)切，由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以C（-1，0）、D（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓；
（2）求出直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式，可求AB的長(zhǎng)；
（3）由點(diǎn)差法可得KOM•KAB=-

b2

a2

=-

3

4

，從而可求M的軌跡方程．

解答： 解：（1）據(jù)題意，當(dāng)令動(dòng)圓半徑為r時(shí)，有

|PC|=r+ 1 2 |PD|= 7 2 -r

，所以|PC|+|PD|=4
由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以C（-1，0）、D（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓．
令橢圓方程為

x2

a2

+

x2

b2

=1，(a＞b＞0)
所以a=2，b²=2²-1=3，所以P的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）過(guò)D點(diǎn)斜率為2的直線方程為：y=2x-2．
由

y=2x-2 x2 4 + y2 3 =1

，消y得到19x²-32x+4=0，
∴|AB|=

1+22

322-4×19×4

19

=

60

19

；
（3）由點(diǎn)差法可得KOM•KAB=-

b2

a2

=-

3

4

，
若令M坐標(biāo)為（x，y），則有

y

x

•

y

x-1

=-

3

4

，
化簡(jiǎn)可得：3x²+4y²-3x=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．