Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的取值范圍；
（2）若集合{x|f（x）+ax-1＞0}=R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值三角不等式，求得f（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的取值范圍．
（2）當(dāng)集合{x|f（x）+ax-1＞0}=R，函數(shù)f（x）＞-ax+1恒成立，即f（x）的圖象恒位于直線y=-ax+1的上方，數(shù)形結(jié)合求得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-1|≥|x+2-（x-1）|=3，故函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-1|的最小值為3，
此時(shí)，-2≤x≤1．
（2）函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x-1，x＜-2}\\{3，-2≤x≤1}\\{2x+1，x≥1}\end{array}\right.$，而函數(shù)y=-ax+1表示過(guò)點(diǎn)（0，1），斜率為-a的一條直線，
如圖所示：當(dāng)直線y=-ax+1過(guò)點(diǎn)A（1，3）時(shí)，3=-a+1，∴a=-2，
當(dāng)直線y=-ax+1過(guò)點(diǎn)B（-2，3）時(shí)，3=2a+1，∴a=1，
故當(dāng)集合{x|f（x）+ax-1＞0}=R，函數(shù)f（x）＞-ax+1恒成立，
即f（x）的圖象恒位于直線y=-ax+1的上方，
數(shù)形結(jié)合可得要求的a的范圍為（-2，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值三角不等式，帶有絕對(duì)值的函數(shù)，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．