Question

6．設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的離心率e=$\frac{1}{2}$，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值為4．

Answer 1

分析 由題意可知離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-^{2}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即可求得b的值，則F（-1，0），A（2，0），設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），$\overrightarrow{PF}$=（-1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{PA}$=（2-x₀，-y₀），根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$=（-1-x₀）（2-x₀）+${y}_{0}^{2}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}$-1）²，由-2≤x₀≤2，即可求得$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值．

解答 解：由焦點(diǎn)在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，a=2，c=$\sqrt{4-^{2}}$，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-^{2}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解得：b²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴F（-1，0），A（2，0），設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），
則有$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，解得：${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），
$\overrightarrow{PF}$=（-1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{PA}$=（2-x₀，-y₀），
$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$=（-1-x₀）（2-x₀）+${y}_{0}^{2}$=${x}_{0}^{2}$-x₀-2+3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$）=$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$-x₀+1=（$\frac{{x}_{0}}{2}$-1）²，
∵-2≤x₀≤2，
∴當(dāng)x₀=-2時(shí)，$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$取最大值，最大值為4，
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程、幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、二次函數(shù)的單調(diào)性與最值等，考查了同學(xué)們對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的熟練程序以及知識(shí)的綜合應(yīng)用能力、運(yùn)算能力，屬于中檔題．