Question

9．已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=-2，求f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性關(guān)系，列出不等式求解即可，
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，
∴f′（x）=-3x²+6x+9，
令f′（x）=-3x²+6x+9=0，解得x=-1或x=3，
當(dāng)f′（x）＜0時(shí)，即x＜-1或x＞3時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），
（2）a=-2時(shí)，f（x）=-x³+3x²+9x-2，
由（1）f′（x）=-3x²+6x+9，
當(dāng)f′（x）＞0時(shí)，即-1＜x＜3時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴f（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞減，在（-1，2]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-1）=1+3-9-2=-7，
∵f（-2）=8+12-18-2=0，
f（2）=-8+12+18-2=20，
∴f（x）_max=20．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性和最值得關(guān)系，屬于中檔題．