Question

4．在△ABC中，已知tan（$\frac{A+B}{2}$）=sinC，給出以下論斷：
①$\frac{tanA}{tanB}$=1；
②1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$；
③sin²A+cos²B=1；
④cos²A+cos²B=sin²C．
其中正確的是（　　）

• A． ①③
• B． ②④
• C． ①④
• D． ②③

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角公式化簡整理題設(shè)等式求得cos $\frac{A+B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$進(jìn)而求得A+B=90°，
進(jìn)而求得tanA-cotB=tanA-tanA=0，可得①不正確；
②利用兩角和公式化簡，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得其范圍符合，得②正確；
③sin²A+cos²B=2sin²A不一定等于1，排除③；
④利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可知cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，進(jìn)而根據(jù)C=90°可知sinC=1，進(jìn)而可知二者相等，得④正確．

解答 解：∵tan $\frac{A+B}{2}$=sinC，
∴$\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}$=2sin$\frac{A+B}{2}$cos$\frac{A+B}{2}$，
整理求得cos $\frac{A+B}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A+B=90°．
對于①，由tanA=cotB，可得：tanAtanB=1，tanB不一定等于cotB，故①不正確．
對于②，由上可得 sinA+sinB=sinA+cosA=$\sqrt{2}$sin（A+45°），
 由45°＜A+45°＜135°，故有 $\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤$\sqrt{2}$，所以②正確．
對于③，sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A，不一定等于1，故③不正確．
對于④，∵cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C，所以④正確．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值，考查了學(xué)生綜合分析問題和推理的能力，基本的運(yùn)算能力，屬于中檔題．