已知函數(shù)f(x)=-x3x2-2x(a∈R).

(1)當a=3時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對于任意x∈[1,+∞)都有(x)<2(a-1)成立,求實數(shù)a的取值范圍;

(3)若過點(0,-)可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線,求實數(shù)a的取值范圍.

答案:
解析:

  解:(1)當時,,得;1分

  因為,

  所以當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;

  當時,,函數(shù)單調(diào)遞減.

  所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.3分

  (2)方法1:由,得,

  因為對于任意都有成立,

  即對于任意都有成立,

  即對于任意都有成立,4分

  令,

  要使對任意都有成立,

  必須滿足;5分

  即;6分

  所以實數(shù)的取值范圍為.7分

  方法2:由,得,

  因為對于任意都有成立,

  所以問題轉(zhuǎn)化為,對于任意都有;4分

  因為,其圖象開口向下,對稱軸為

 、佼時,即時,上單調(diào)遞減,

  所以

  由,得,此時;5分

 、诋時,即時,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,由,得,此時;6分

  綜上①②可得,實數(shù)的取值范圍為;7分

  (3)設(shè)點是函數(shù)圖象上的切點,

  則過點的切線的斜率為,8分

  所以過點的切線方程為;9分

  因為點在切線上,

  所以,

  即;10分

  若過點可作函數(shù)圖象的三條不同切線,

  則方程有三個不同的實數(shù)解.11分

  令,則函數(shù)軸有三個不同的交點.

  令,解得.12分

  因為,

  所以必須,即;13分

  所以實數(shù)的取值范圍為;14分


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(1) 若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3) 設(shè)g(x)=x2-2x,若對任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求實數(shù)a的取值范圍.

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C.-1或                 D.1或-

 

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    (2)若a>0,則不等式f [f (x)]>x對一切實數(shù)x都成立;

    (3)若a<0,則必存在實數(shù)x0,使f [f (x0)]>x0;

    (4)若a+b+c=0,則不等式f [f (x)]<x對一切x都成立;

    正確的序號有          .              

 

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A.x1x2<1    B.x1x2<x1x2

C.x1x2x1x2    D.x1x2>x1x2

 

 

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