已知函數(shù)f(x)=-x3+x2-2x(a∈R).
(1)當a=3時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對于任意x∈[1,+∞)都有(x)<2(a-1)成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若過點(0,-)可作函數(shù)y=f(x)圖象的三條不同切線,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)當時,,得;1分 因為, 所以當時,,函數(shù)單調(diào)遞增; 當或時,,函數(shù)單調(diào)遞減. 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為和.3分 (2)方法1:由,得, 因為對于任意都有成立, 即對于任意都有成立, 即對于任意都有成立,4分 令, 要使對任意都有成立, 必須滿足或;5分 即或;6分 所以實數(shù)的取值范圍為.7分 方法2:由,得, 因為對于任意都有成立, 所以問題轉(zhuǎn)化為,對于任意都有;4分 因為,其圖象開口向下,對稱軸為. 、佼時,即時,在上單調(diào)遞減, 所以, 由,得,此時;5分 、诋時,即時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,由,得,此時;6分 綜上①②可得,實數(shù)的取值范圍為;7分 (3)設(shè)點是函數(shù)圖象上的切點, 則過點的切線的斜率為,8分 所以過點的切線方程為;9分 因為點在切線上, 所以, 即;10分 若過點可作函數(shù)圖象的三條不同切線, 則方程有三個不同的實數(shù)解.11分 令,則函數(shù)與軸有三個不同的交點. 令,解得或.12分 因為,, 所以必須,即;13分 所以實數(shù)的取值范圍為;14分 |
科目:高中數(shù)學 來源:2011屆南京市金陵中學高三第四次模擬考試數(shù)學試題 題型:解答題
(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a為正數(shù)).
(1) 若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行,求a的值;
(2) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3) 設(shè)g(x)=x2-2x,若對任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)<g(x2),求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年浙江省杭州市高三上學期開學考試數(shù)學卷 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=4x2-mx+5在區(qū)間[-2,+∞)上是增函數(shù),則f(1)的范圍是( )
A.f(1)≥25 B.f(1)=25 C.f(1)≤25 D.f(1)>25
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年湖南省高三第三次月考文科數(shù)學卷 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=若f(a)=,則a= ( )
A.-1 B.
C.-1或 D.1或-
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科目:高中數(shù)學 來源:2010-2011學年湖北省天門市高三天5月模擬文科數(shù)學試題 題型:填空題
已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x無實根,下列命題中:
(1)方程f [f (x)]=x一定無實根;
(2)若a>0,則不等式f [f (x)]>x對一切實數(shù)x都成立;
(3)若a<0,則必存在實數(shù)x0,使f [f (x0)]>x0;
(4)若a+b+c=0,則不等式f [f (x)]<x對一切x都成立;
正確的序號有 .
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科目:高中數(shù)學 來源:2012屆江西省南昌市高三第一次模擬測試卷理科數(shù)學試卷 題型:選擇題
已知函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|-()x有兩個零點x1,x2,則有
A.x1x2<1 B.x1x2<x1+x2
C.x1x2=x1+x2 D.x1x2>x1+x2
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