Question

16．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{kx+1（x≤0）}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x，（x＞0）}\end{array}\right.$，則關于函數F（x）=f（f（x））的零點個數，正確的結論是②④．（寫出你認為正確的所有結論的序號）
①k=0時，F（x）恰有一個零點．②k＜0時，F（x）恰有2個零點．
③k＞0時，F（x）恰有3個零點．④k＞0時，F（x）恰有4個零點．

Answer 1

分析 逐項判斷即可．

解答 解：
①當k=0時，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{1}&{x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}x}&{x＞0}\end{array}\right.$，當x≤0時，f（x）=1，則f（f（x））=f（1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}1$=0，
此時有無窮多個零點，故①錯誤；
②當k＜0時，（Ⅰ）當x≤0時，f（x）=kx+1≥1，
此時f（f（x））=f（kx+1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（kx+1）$，令f（f（x））=0，可得：x=0；
（Ⅱ）當0＜x≤1時，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≥0$，此時
f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（lo{g}_{\frac{1}{2}}x）$，令f（f（x））=0，可得：x=$\frac{1}{2}$，滿足；
（Ⅲ）當x＞1時，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＜0$，此時f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=k$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$+1＞0，此時無零點．
綜上可得，當k＜0時，函數有兩零點，故②正確；
③當k＞0時，（Ⅰ）當x≤$-\frac{1}{k}$時，kx+1≤0，此時f（f（x））=f（kx+1）=k（kx+1）+1，
令f（f（x））=0，可得：$x=-\frac{k+1}{{k}^{2}}＜-\frac{1}{k}$，滿足；
（Ⅱ）當$-\frac{1}{k}＜x≤0$時，kx+1＞0，此時f（f（x））=f（kx+1）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（kx+1）$，令f（f（x））=0，可得：x=0，滿足；
（Ⅲ）當0＜x≤1時，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x≥0$，此時f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（lo{g}_{\frac{1}{2}}x）$，令f（f（x））=0，可得：x=$\frac{1}{2}$，滿足；
（Ⅳ）當x＞1時，$lo{g}_{\frac{1}{2}}x＜0$，此時f（f（x））=f（$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$）=k$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$+1，令f（f（x））=0得：x=${2}^{\frac{1}{k}}$＞1，滿足；
綜上可得：當k＞0時，函數有4個零點．故③錯誤，④正確．
故答案為：②④．

點評 本題考查復合函數的零點問題．考查了分類討論和轉化的思想方法，要求比較高，屬于難題．