Question

6．定義在R上的函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（1）=1，且對(duì)任意x∈R都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，則不等式f（e^x）＞$\frac{{e}^{x}+1}{2}$的解集為（-∞，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，利用對(duì)任意x∈R都有f′（x）＜$\frac{1}{2}$，判斷g（x）的單調(diào)性．利用g（x）與f（x）的關(guān)系以及單調(diào)性求解．

解答 解：根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)，設(shè)g（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$x，
那么：g′（x）=f′（x）-$\frac{1}{2}$，
∵f′（x）＜$\frac{1}{2}$，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）為減函數(shù)，
不等式f（e^x）＞$\frac{{e}^{x}+1}{2}$=$\frac{1}{2}{e}^{x}+\frac{1}{2}$，
∵f（1）=1，∴g（1）=$\frac{1}{2}$=g（e⁰）
即g（e^x）=f（e^x）$-\frac{1}{2}$e^x$＞\frac{1}{2}$
等價(jià)于g（e^x）＞g（e⁰）
∵g（x）為減函數(shù)，e^x＜e⁰．
解得：x＜0
∴不等式解集為（-∞，0）
故答案為：（-∞，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)g（x），確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵