Question

19．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA發(fā)射后又回到原點(diǎn)P（如圖11）．若光線QR經(jīng)過△ABC的重心，則BP等于（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{8}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)P₁的坐標(biāo)，和P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P₂的坐標(biāo)，由P₁，Q，R，P₂四點(diǎn)共線可得直線的方程，由于過△ABC的重心，代入可得關(guān)于a的方程，解之可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AP，BP的值．

解答 解：建立如圖所示的坐標(biāo)系：
可得B（4，0），C（0，4），故直線BC的方程為x+y=4，
△ABC的重心為（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），設(shè)P（a，0），其中0＜a＜4，
則點(diǎn)P關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)P₁（x，y），滿足$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+x}{2}+\frac{y}{2}=4}\\{\frac{y}{x-a}•（-1）=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4-a}\end{array}\right.$，即P₁（4，4-a），
易得P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P₂（-a，0），
由光的反射原理可知P₁，Q，R，P₂四點(diǎn)共線，
直線QR的斜率為k=$\frac{4-a}{4+a}$，故直線QR的方程為y=$\frac{4-a}{4+a}$（x+a），
由于直線QR過△ABC的重心（$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$），代入化簡可得3a²-4a=0，
解得a=$\frac{4}{3}$，或a=0（舍去），故P（$\frac{4}{3}$，0），故AP=$\frac{4}{3}$，BP=$\frac{8}{3}$
故選C．

點(diǎn)評 本題考查直線與點(diǎn)的對稱問題，涉及直線方程的求解以及光的反射原理的應(yīng)用，屬中檔題．