Question

16．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S₂=4，a_n+1=2S_n+1，則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=3^n-1．

Answer 1

分析 通過a_n+1=2S_n+1與a_n=2S_n-1+1作差可知a_n+1=3a_n（n≥2），進(jìn)而驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)a_n+1=3a_n也成立，從而利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：因?yàn)閍_n+1=2S_n+1，
所以當(dāng)n≥2時(shí)a_n=2S_n-1+1，
兩式相減得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又因?yàn)镾₂=4，a₂=2a₁+1，
所以a₂=3，a₁=1，
所以當(dāng)n=1時(shí)a_n+1=3a_n也成立，
所以數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公比為3的等比數(shù)列，
所以a_n=3^n-1，
故答案為：a_n=3^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查等比數(shù)列及其判定，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．