Question

已知橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩條漸近線為l₁，l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A，B．
（1）若l₁與l₂夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程及離心率；
（2）求

FA

AP

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意，先由雙曲線的性質(zhì)得出a，b所滿足的關(guān)系式a=

3

b，再與a²+b²=2²聯(lián)立求出兩者的值即可得出橢圓的方程；
（2）由題意，聯(lián)立l與l₂的方程求出它們的交點P點的坐標，再令

FA

AP

=λ，利用引入的參數(shù)表示出點A的坐標，由于點A在橢圓上，代入橢圓的方程結(jié)合橢圓的性質(zhì)求出λ的取值范圍，即可得出所求的最大值．

解答： 解：（1）雙曲線的漸近線為y=±

b

a

x，兩漸近線夾角為60°，又

b

a

＜1，∴∠POx=30°，
∴

b

a

=tan 30°=

3

3

，∴a=

3

b．又a²+b²=2²，
∴3b²+b²=4，
∴b²=1，a²=3，∴橢圓C的方程為

x2

3

+y²=1，
∴離心率e=

a2-b2

a

=

6

3

．
（2）由已知，l：y=

a

b

（x-c）與y=

b

a

x聯(lián)立，
解方程組得P（

a2

c

，

ab

c

）．
設(shè)

FA

AP

=λ，則

FA

=λ

AP

，∵F（c，0），設(shè)A（x₀，y₀），
則（x₀-c，y₀）=λ(

a2

c

-x0，

ab

c

-y0)，
∴x₀=

c+λ× a2 c

1+λ

，y₀=

λ× ab c

1+λ

．即A（

c+λ× a2 c

1+λ

，

λ× ab c

1+λ

）．
將A點坐標代入橢圓方程，得（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²，
等式兩邊同除以a⁴，（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²，e∈（0，1），
∴λ²=

e4-e2

e2-2

=-[2-e2+

2

2-e2

]+3≤-2 

(2-e2)× 2 2-e2

+3=3-2

2

=（

2

-1）²，
∴當2-e²=

2

，即e²=2-

2

時，λ有最大值

2

-1，即

FA

AP

的最大值為

2

-1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，此類題運算量大，綜合性強，容易出錯，解答時要嚴謹，避免變形出錯導致解題失敗