Question

8．已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．曲線C的極坐標方程為7ρ²-ρ²cos2θ-24=0．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）點（x，y）在曲線C上，試求x-2y的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C的極坐標方程為7ρ²-ρ²cos2θ-24=0．由倍角公式cos2θ=1-2sin²θ，方程變形為3ρ²+ρ²sin²θ-12=0，利用極坐標與直角坐標互化公式即可得出．
（Ⅱ）由曲線C的直角坐標方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可設x=2cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ．利用和差公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）曲線C的極坐標方程為7ρ²-ρ²cos2θ-24=0．
由倍角公式cos2θ=1-2sin²θ，方程變形為3ρ²+ρ²sin²θ-12=0，
再由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y得曲線C的直角坐標方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（Ⅱ）由曲線C的直角坐標方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可設x=2cosθ，y=$\sqrt{3}$sinθ．
則z=x-2y=$2cosθ-2\sqrt{3}sinθ$=$4sin（\frac{π}{6}-θ）$，則-4≤z≤4，
故x-2y的取值范圍是[-4，4]．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程與普通方程的互化、三角函數(shù)和差公式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．