Question

12．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的三邊分別是a，b，c，已知cosC+$\frac{c}$cosB=2，
（1）求$\frac{sinA}{sinB}$；
（2）若C=$\frac{π}{3}$，c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理、和差公式即可得出．
（2）由（1）可得$\frac{a}$=2，即a=2b．再利用余弦定理可得b，a，利用三角形面積計算公式即可得出．

解答 解：（1）∵cosC+$\frac{c}$cosB=2，由正弦定理可得：cosC+$\frac{sinC}{sinB}$cosB=2，∴$\frac{sin（B+C）}{sinB}$=$\frac{sinA}{sinB}$=2．
（2）由（1）可得$\frac{a}$=2，即a=2b．
由余弦定理可得：c²=12=a²+b²-2abcosC=4b²+b²-$4^{2}×cos\frac{π}{3}$，解得b=2，
∴a=4．
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×4×2×sin\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、和差化積、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．