Question

9．數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式是a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，它們公共項由小到大排列構成數(shù)列{c_n}．
（1）寫出數(shù)列{c_n}的前5項；
（2）判斷數(shù)列{c_n}是否為等比數(shù)列，如果是，請給出證明，如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意和a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，依次求出數(shù)列{c_n}的前5項；
（2）先進行判斷出再證明，設a_k=2^k是數(shù)列{b_n}中的第m項，則2^k=3m+2，（k、m∈N^*）．證明a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項，a_k+2是數(shù)列{b_n}中的項，求出c_n即可判斷出數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列．

解答 解：（1）∵a_n=2ⁿ，b_n=3n+2，
∴數(shù)列{c_n}的前5項是8、32、2⁷、2⁹、2¹¹；
（2）數(shù)列{c_n}是以4為公比的等比數(shù)列，證明如下：
∵a_n=2ⁿ，∴數(shù)列{a_n}是以2首項，公比為2的等比數(shù)列，
∴a₁=2．a₂=4．a₃=8，
知a₁、a₂顯然不是數(shù)列{b_n}中的項．
∵a₃=8=3×2+2，∴a₃是數(shù)列{b_n}中的第2項，
設a_k=2^k是數(shù)列{b_n}中的第m項，則2^k=3m+2（k、m∈N^*）．
∵a_k+1=2^k+1=2×2^k=2（3m+2）=3（2m+1）+1，
∴a_k+1不是數(shù)列{b_n}中的項．
∵a_k+2=2^k+2=4×2^k=4（3m+2）=3（4m+2）+2，
∴a_k+2是數(shù)列{b_n}中的項，
∴c₁=a₃，c₂=a₅，c₃=a₇，…，c_n=a_2n+1，
∴數(shù)列{c_n}的通項公式是c_n=2²ⁿ⁺¹（n∈N^*），
則數(shù)列{c_n}是以4為公比的等比數(shù)列．

點評 本題考查等比數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的通項公式的應用，以及推理與證明能力，屬于中檔題．