Question

【題目】已知橢圓C的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，離心率為，且點在該橢圓上。

（I）求橢圓C的方程；

（II）過橢圓C的左焦點的直線l與橢圓C相交于兩點，若的面積為，求圓心在原點O且與直線l相切的圓的方程。

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)離心率求得a和c關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)a2=b2+c2，求得a和b的關(guān)系，把點C坐標(biāo)代入橢圓方程求得a，進(jìn)而求得b，則橢圓方程可得．

（2）先看當(dāng)l與x軸垂直時，可求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得三角形AOB的坐標(biāo)，不符合題意；再看直線l斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），進(jìn)而求得x1+x2和x1x2的表達(dá)式，進(jìn)而表示出|AB|，進(jìn)而求得圓的半徑后表示出三角形AOB的面積，求得k，進(jìn)而求得圓的半徑，則圓的方程可得．

解析：

（1）設(shè)橢圓C的方程為，（ ），由題意可得

又，所以

因為橢圓C經(jīng)過（1， ），代入橢圓方程有

解得

所以c=1， 故橢圓C的方程為

（II）當(dāng)直線軸時，計算得到： ，

，不符合題意

當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為： ，

由消去y，得

顯然成立，設(shè)，

則， 又

即

又圓O的半徑

所以

化簡，得，即

解得， （舍）

所以， ，故圓O的方程為： 。