Question

15．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若$x=-\frac{1}{3}$是函數(shù)f（x）的極值點，求函數(shù)f（x）在[1，a]上的最大值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-bx，在（1）的條件下，若函數(shù)g（x）恰有3個零點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出a的值，再確定函數(shù)f（x）在[1，a]上的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）在[1，a]上的最大值．
（2）函數(shù)g（x）有3個零點?方程f（x）-bx=0有3個不相等的實根，即方程x³-4x²-3x=bx有3個不等實根．x=0是其中一個根，只需滿足方程x²-4x-3-b=0有兩個非零不等實根，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，f′（-$\frac{1}{3}$）=0，
即$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$a-3=0，∴a=4．
∴f（x）=x³-4x²-3x．
令f′（x）=3x²-8x-3=0，
得x₁=-$\frac{1}{3}$，x₂=3．
則當(dāng)x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		-	0	+
f（x）	-6	減	-18	增	-12

∴f（x）在[1，4]上的最大值是f（1）=-6．
（2）函數(shù)g（x）有3個零點?方程f（x）-bx=0有3個不相等的實根．
即方程x³-4x²-3x=bx有3個不等實根．
∵x=0是其中一個根，
∴只需滿足方程x²-4x-3-b=0有兩個非零不等實根．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3-b≠0}\\{16-4（-3-b）＞0}\end{array}\right.$，∴b＞-7且b≠-3，
故實數(shù)b的取值范圍是b＞-7且b≠-3．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查函數(shù)的零點，正確運用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．