如圖點O是邊長為1的等邊三角形ABC的邊BC中線AD上一點,且|AO|=2|OD|,過O的直線交邊AB于M,交邊AC于N,記∠AOM=θ,
(1)則θ的取值范圍為
[
π
3
,
3
]
[
π
3
,
3
]

(2)
1
|OM|2
+
1
|ON|2
的最小值為
15
15
分析:(1)由題意可得,點O為等邊三角形ABC的重心,當點N與點C重合時,θ最小,由cosθ=
MO
AO
,可得θ的值.當M與B重合時,θ取得最大值,由于cos(π-θ)=
ON
AO
,可得θ的值,從而求得θ的取值范圍.
(2)先求得AO=
2
3
AD的值,設∠ANO=α,則∠AMO=
3
-α.△ANO中,由正弦定理求得 ON=
3
6sinα
,同理求得 OM=
3
6Sin(
3
-α)
,計算
1
|OM|2
+
1
|ON|2
=12+6cos(2α+
π
3
).由
π
3
6
-(
3
)≤
3
,求得α的范圍,利用余弦函數(shù)的定義域和值域求得12+6cos(2α+
π
3
) 的最小值.
解答:解:(1)由題意可得,點O為等邊三角形ABC的重心,
當點N與點C重合時,MN與AB垂直,M為AB的中點,OM取得最小值,
此時,θ最小,由cosθ=
MO
AO
=
1
2
,可得θ=
π
3

當M與B重合時,此時,MN垂直于AC,θ取得最大值,由于cos(π-θ)=
ON
AO
=
1
2
,可得θ=
3

綜上可得,θ的取值范圍為[
π
3
,
3
].
(2)由題意可得,AO=
2
3
AD=
2
3
×
3
2
=
3
3
;設∠ANO=α,則∠AMO=
3
-α.
△ANO中,由余弦定理可得
ON
sin30°
=
AO
sinα
,解得 ON=
3
6sinα

同理求得 OM=
3
6Sin(
3
-α)

1
|OM|2
+
1
|ON|2
=
36sin2(
3
-α)
3
+
36sin2α
3
 
=12×
1-cos(
3
-2α)
2
+12×
1-cos2α
2
=12-6[cos(
3
-2α)+cos2α]
=12+6cos(2α+
π
3
).
由(1)可得
π
3
6
-(
3
)≤
3
,可得
π
3
≤2α≤π,
3
≤2α+
π
3
≤π+
π
3

-1≤cos(2α+
π
3
)≤-
1
2
,故當2α+
π
3
=π 時,cos(2α+
π
3
) 取得最小值為-1,
12+6cos(2α+
π
3
) 取得最小值為 12-6=6,
故答案為 6.
點評:本題主要考查正弦定理、余弦定理的應用,余弦函數(shù)的定義域和值域,屬于難題.
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OA
+
OB
)•(
OA
+
OC
)等于( 。

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