Question

函數(shù)f1(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的一段圖象過點（0，1），如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f₁（x）的解析式；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f₁（x）的圖象按向量

a

=(

π

4

，0)平移，得到函數(shù)y=f₂（x），求y=f₁（x）+f₂（x）的最大值，并求此時自變量x的集合．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由周期求出ω，根據(jù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求φ，點（0，1）代入函數(shù)解析式求得A，可得函數(shù)的解析式．
（2）先求得函數(shù)y=f₂（x）的解析式，可得y=f₁（x）+f₂（x）的解析式，從而求得y=f₁（x）+f₂（x）的最大值，以及此時自變量x的集合．

解答： 解 （Ⅰ）  由圖知：T=

5π

12

-(-

π

12

)=π，于是ω=2．
由圖象可得將函數(shù)y=Asinωx的圖象向左平移

π

12

，得y=Asin（2x+φ）的圖象，則φ=2×

π

12

=

π

6

．
將（0，1）代入y=Asin(2x+

π

6

)得A=2；故f1(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（Ⅱ） 依題意：f2(x)=2sin[2(x-

π

4

)+

π

6

]=-2cos(2x+

π

6

)，
故，y=2sin(2x+

π

6

)-2cos(2x+

π

6

)=2

2

sin(2x-

π

12

)，
當(dāng)2x-

π

12

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

7π

24

，k∈Z時，ymax=2

2

，
此時，x的取值集合為{x|x=kπ+

7π

24

，k∈Z}．

點評：本題主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的圖象特征，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，屬于中檔題．